Gradiente Geométrico

El Gradiente Geométrico es similar al Gradiente Aritmético en el sentido que son pagos realizados en intervalos de tiempo iguales y que el valor de los pagos se va incrementando o disminuyendo en cada periodo. La diferencia es que la variación de los pagos es un porcentaje constante mientras que en el gradiente aritmético la variación es un valor constante. Por ejemplo, en el Gradiente Geométrico la variación es de un 10% mientras que en el Gradiente Aritmético la variación es de 50 dólares.

Veamos un ejemplo:

Hernán obtuvo un préstamo del Banco, el valor de la primera cuota de un total de 60 cuotas mensuales es de $96 USD y el valor de las cuotas se va incrementando un 4% mensual. Si la tasa de interés es del 20,4% Nominal Anual con Capitalización Mes Vencido, ¿De cuánto fue el préstamo? ¿Cuál es el valor de la cuota 55?

El siguiente es el flujo de caja:

Se observa como el valor de las cuotas se va incrementando cada vez más, en el gradiente geométrico el crecimiento de las cuotas es exponencial.

Para resolver la primera pregunta utilizaremos la siguiente fórmula:

VP = C ((((1 + GG) / (1 + i))ⁿ – 1 ) / (GG – i))

Donde VP es el Valor Presente, C es el valor de la primera cuota, i es la tasa de interés periódica vencida, n es el número de periodos o cuotas y GG es el valor del Gradiente Geométrico.

Como la tasa esta anual, hallamos la tasa mensual dividiendo en 12.

i = 0,204 / 12 = 0,017

Luego reemplazamos en la fórmula:

VP = 96 ((((1 + 0,04) / (1 + 0,017))⁶⁰ – 1 ) / (0,04 – 0,017)) = 11.795,41

Lo anterior significa que el valor del préstamo fue de $11.795,41 USD.

Para calcular el valor de una cuota especifica utilizaremos la fórmula:

Cn = C(1 + GG)^n-1

Reemplazando tenemos:

C55 = 96(1 + 0,04)^55-1 = 798,13

Esto significa que el valor de la cuota 55 será de $798,13 USD.

Valor Futuro de un Gradiente Geométrico

Si lo que quieres es calcular el Valor Futuro de un Gradiente Geométrico, entonces simplemente calculas en Valor Presente con la fórmula que vimos al inicio de la clase y luego llevas el valor presente al futuro con la fórmula:

VF = VP (1 + i)ⁿ

Por otra parte, si el valor del gradiente es igual a la tasa de interés, el valor presente lo podemos calcular con la fórmula:

VP = n ((C / (1 + i))

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